பின்னக் கணக்கீடுகளைப் புரிந்துகொள்ளுதல்: ஒரு விரிவான வழிகாட்டி

பின்னங்கள் கணிதத்தின் ஒரு அடிப்படை கருத்து, சமையல் முதல் கட்டுமானம் வரை அன்றாட வாழ்க்கைக்கு அவசியம். அவை முதலில் பயமுறுத்துவதாகத் தோன்றினாலும், பின்னங்களுடன் அடிப்படை செயல்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்வது - கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் - தெளிவான விளக்கங்கள் மற்றும் பயிற்சியின் மூலம் அடைய முடியும். இந்த வழிகாட்டி அனைத்து நிலைகளிலும் உள்ள கற்பவர்களுக்கு பின்னக் கணக்கீடுகளைப் புரிந்துகொள்ள உதவுகிறது, மேலும் உங்கள் நம்பிக்கையையும் திறமையையும் வளர்க்க ஒரு விரிவான கண்ணோட்டத்தையும் நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகளையும் வழங்குகிறது.

பின்னங்கள் என்றால் என்ன? ஒரு விரைவான மறுபார்வை

ஒரு பின்னம் ஒரு முழுமையின் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது. இது இரண்டு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது:

• தொகுதி: பின்னக் கோட்டிற்கு மேலே உள்ள எண், நம்மிடம் உள்ள பகுதிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது.
• பகுதி: பின்னக் கோட்டிற்கு கீழே உள்ள எண், முழு எத்தனை சம பாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது.

உதாரணமாக, 3/4 என்ற பின்னத்தில், 3 என்பது தொகுதி, மற்றும் 4 என்பது பகுதி. இதன் பொருள், மொத்தமுள்ள 4 சம பாகங்களில் 3 பகுதிகள் நம்மிடம் உள்ளன.

பின்னங்களின் வகைகள்:

• முறை பின்னங்கள்: தொகுதி பகுதியை விட சிறியதாக இருக்கும் (எ.கா., 1/2, 2/3, 5/8).
• முறைமையில்லா பின்னங்கள்: தொகுதி பகுதியைக் காட்டிலும் பெரியதாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் (எ.கா., 5/4, 7/3, 8/8).
• கலப்பு எண்கள்: ஒரு முழு எண் மற்றும் ஒரு முறை பின்னம் இணைந்தது (எ.கா., 1 1/2, 2 3/4, 5 1/8).

பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

பின்னங்களைச் சேர்க்க ஒரு பொதுவான பகுதி தேவைப்படுகிறது. அதாவது இரண்டு பின்னங்களுக்கும் கீழே ஒரே எண் இருக்க வேண்டும்.

ஒரே பகுதியைக் கொண்ட பின்னங்கள்:

பின்னங்களுக்கு ஏற்கனவே ஒரே பகுதி இருந்தால், தொகுதிகளைச் சேர்த்து, பகுதியை அப்படியே வைக்கவும்.

உதாரணம்: 1/5 + 2/5 = (1 + 2)/5 = 3/5

வெவ்வேறு பகுதிகளைக் கொண்ட பின்னங்கள்:

பின்னங்களுக்கு வெவ்வேறு பகுதிகள் இருந்தால், நீங்கள் அவற்றைச் சேர்ப்பதற்கு முன்பு ஒரு பொதுவான பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இதைச் செய்வதற்கான எளிய வழி, பகுதிகளின் மீச்சிறு பொது மடங்கைக் (LCM) கண்டுபிடிப்பது. LCM என்பது இரண்டு பகுதிகளாலும் சமமாக வகுக்கப்படும் மிகச்சிறிய எண் ஆகும்.

உதாரணம்: 1/4 + 1/6

1. 4 மற்றும் 6 இன் LCM ஐக் காண்க: 4 மற்றும் 6 இன் LCM 12 ஆகும்.
2. ஒவ்வொரு பின்னத்தையும் பொதுவான பகுதியுடன் (12) சமமான பின்னமாக மாற்றவும்:
   • 1/4 = (1 x 3)/(4 x 3) = 3/12
   • 1/6 = (1 x 2)/(6 x 2) = 2/12
3. தொகுதிகளைச் சேர்த்து, பொதுவான பகுதியை அப்படியே வைக்கவும்: 3/12 + 2/12 = (3 + 2)/12 = 5/12

எனவே, 1/4 + 1/6 = 5/12

கலப்பு எண்களைச் சேர்த்தல்:

கலப்பு எண்களைச் சேர்ப்பதற்கு இரண்டு முக்கிய முறைகள் உள்ளன:

1. முறை 1: முழு எண்களையும் பின்னங்களையும் தனித்தனியாகச் சேர்க்கவும்:
   • முழு எண்களைச் சேர்க்கவும்.
   • பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் (தேவைப்பட்டால் ஒரு பொதுவான பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க நினைவில் கொள்ளுங்கள்).
   • முடிவுகளை இணைக்கவும். பின்னப் பகுதி ஒரு முறைமையில்லா பின்னமாக இருந்தால், அதை ஒரு கலப்பு எண்ணாக மாற்றி, முழு எண் பகுதியை ஏற்கனவே உள்ள முழு எண்ணுடன் சேர்க்கவும்.
2. முறை 2: கலப்பு எண்களை முறைமையில்லா பின்னங்களாக மாற்றவும்:
   • ஒவ்வொரு கலப்பு எண்ணையும் ஒரு முறைமையில்லா பின்னமாக மாற்றவும்.
   • முறைமையில்லா பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் (தேவைப்பட்டால் ஒரு பொதுவான பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க நினைவில் கொள்ளுங்கள்).
   • விளைவாக வரும் முறைமையில்லா பின்னத்தை மீண்டும் ஒரு கலப்பு எண்ணாக மாற்றவும்.

உதாரணம் (முறை 1): 2 1/3 + 1 1/2

1. முழு எண்களைச் சேர்க்கவும்: 2 + 1 = 3
2. பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்: 1/3 + 1/2. 3 மற்றும் 2 இன் LCM 6 ஆகும்.
   • 1/3 = 2/6
   • 1/2 = 3/6
   • 2/6 + 3/6 = 5/6
3. முடிவுகளை இணைக்கவும்: 3 + 5/6 = 3 5/6

உதாரணம் (முறை 2): 2 1/3 + 1 1/2

1. முறைமையில்லா பின்னங்களாக மாற்றவும்:
   • 2 1/3 = (2 x 3 + 1)/3 = 7/3
   • 1 1/2 = (1 x 2 + 1)/2 = 3/2
2. முறைமையில்லா பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்: 7/3 + 3/2. 3 மற்றும் 2 இன் LCM 6 ஆகும்.
   • 7/3 = 14/6
   • 3/2 = 9/6
   • 14/6 + 9/6 = 23/6
3. மீண்டும் ஒரு கலப்பு எண்ணாக மாற்றவும்: 23/6 = 3 5/6

பின்னங்களைக் கழித்தல்

பின்னங்களைக் கழித்தல் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதைப் போன்ற கொள்கைகளைப் பின்பற்றுகிறது. உங்களுக்கு ஒரு பொதுவான பகுதி தேவை.

ஒரே பகுதியைக் கொண்ட பின்னங்கள்:

பின்னங்களுக்கு ஏற்கனவே ஒரே பகுதி இருந்தால், தொகுதிகளைக் கழித்து, பகுதியை அப்படியே வைக்கவும்.

உதாரணம்: 3/5 - 1/5 = (3 - 1)/5 = 2/5

வெவ்வேறு பகுதிகளைக் கொண்ட பின்னங்கள்:

பின்னங்களுக்கு வெவ்வேறு பகுதிகள் இருந்தால், LCM ஐக் கண்டுபிடித்து, கழிப்பதற்கு முன்பு பொதுவான பகுதியுடன் சமமான பின்னங்களாக மாற்றவும்.

உதாரணம்: 1/2 - 1/3

1. 2 மற்றும் 3 இன் LCM ஐக் காண்க: 2 மற்றும் 3 இன் LCM 6 ஆகும்.
2. ஒவ்வொரு பின்னத்தையும் பொதுவான பகுதியுடன் (6) சமமான பின்னமாக மாற்றவும்:
   • 1/2 = (1 x 3)/(2 x 3) = 3/6
   • 1/3 = (1 x 2)/(3 x 2) = 2/6
3. தொகுதிகளைக் கழித்து, பொதுவான பகுதியை அப்படியே வைக்கவும்: 3/6 - 2/6 = (3 - 2)/6 = 1/6

எனவே, 1/2 - 1/3 = 1/6

கலப்பு எண்களைக் கழித்தல்:

கூட்டலைப் போலவே, நீங்கள் முழு எண்களையும் பின்னங்களையும் தனித்தனியாகக் கழிக்கலாம் அல்லது கலப்பு எண்களை முறைமையில்லா பின்னங்களாக மாற்றலாம்.

உதாரணம் (முழு மற்றும் பின்னப் பகுதிகளைத் தனித்தனியாகக் கழித்தல்): 3 1/4 - 1 1/8

1. முழு எண்களைக் கழிக்கவும்: 3 - 1 = 2
2. பின்னங்களைக் கழிக்கவும்: 1/4 - 1/8. 4 மற்றும் 8 இன் LCM 8 ஆகும்.
   • 1/4 = 2/8
   • 2/8 - 1/8 = 1/8
3. முடிவுகளை இணைக்கவும்: 2 + 1/8 = 2 1/8

உதாரணம் (முறைமையில்லா பின்னங்களாக மாற்றுதல்): 3 1/4 - 1 1/8

1. முறைமையில்லா பின்னங்களாக மாற்றவும்:
   • 3 1/4 = (3 x 4 + 1)/4 = 13/4
   • 1 1/8 = (1 x 8 + 1)/8 = 9/8
2. முறைமையில்லா பின்னங்களைக் கழிக்கவும்: 13/4 - 9/8. 4 மற்றும் 8 இன் LCM 8 ஆகும்.
   • 13/4 = 26/8
   • 26/8 - 9/8 = 17/8
3. மீண்டும் ஒரு கலப்பு எண்ணாக மாற்றவும்: 17/8 = 2 1/8

முக்கிய குறிப்பு: நீங்கள் கழிக்கும் பின்னம் நீங்கள் கழிக்கும் பின்னத்தை விட பெரியதாக இருந்தால், நீங்கள் முழு எண் பகுதியிலிருந்து கடன் வாங்க வேண்டியிருக்கலாம். உதாரணமாக: 4 1/5 - 2 2/5. 4 இலிருந்து 1 ஐ கடன் வாங்கி, அதை 3 ஆக மாற்றவும். பின்னர் அந்த 1 ஐ (5/5 ஆக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது) 1/5 உடன் சேர்க்கவும், அதை 6/5 ஆக்கவும். அப்போது சிக்கல் 3 6/5 - 2 2/5 ஆக மாறும், அதை எளிதாக தீர்க்க முடியும்: 1 4/5.

பின்னங்களைப் பெருக்குதல்

பின்னங்களைப் பெருக்குவது அவற்றைச் சேர்ப்பது அல்லது கழிப்பதை விட எளிமையானது. உங்களுக்கு ஒரு பொதுவான பகுதி தேவையில்லை. தொகுதிகளை ஒன்றாகப் பெருக்கி, பகுதிகளை ஒன்றாகப் பெருக்கவும்.

சூத்திரம்: (a/b) x (c/d) = (a x c)/(b x d)

உதாரணம்: 1/2 x 2/3 = (1 x 2)/(2 x 3) = 2/6 = 1/3 (சுருக்கப்பட்டது)

பின்னங்களையும் முழு எண்களையும் பெருக்குதல்:

ஒரு பின்னத்தை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்க, முழு எண்ணை 1 பகுதியாகக் கொண்ட ஒரு பின்னமாக கருதுங்கள்.

உதாரணம்: 3 x 1/4 = 3/1 x 1/4 = (3 x 1)/(1 x 4) = 3/4

கலப்பு எண்களைப் பெருக்குதல்:

பெருக்குவதற்கு முன் கலப்பு எண்களை முறைமையில்லா பின்னங்களாக மாற்றவும்.

உதாரணம்: 1 1/2 x 2 1/3

1. முறைமையில்லா பின்னங்களாக மாற்றவும்:
   • 1 1/2 = 3/2
   • 2 1/3 = 7/3
2. முறைமையில்லா பின்னங்களைப் பெருக்கவும்: 3/2 x 7/3 = (3 x 7)/(2 x 3) = 21/6 = 7/2 (சுருக்கப்பட்டது)
3. மீண்டும் ஒரு கலப்பு எண்ணாக மாற்றவும்: 7/2 = 3 1/2

பின்னங்களை வகுத்தல்

பின்னங்களை வகுப்பது பெருக்குவதைப் போன்றது, ஆனால் நீங்கள் இரண்டாவது பின்னத்தை தலைகீழாக (தலைகீழ்) மாற்றி பின்னர் பெருக்க வேண்டும்.

தலைகீழ் என்றால் என்ன?

ஒரு பின்னத்தின் தலைகீழ் தொகுதியையும் பகுதியையும் மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. உதாரணமாக, 2/3 இன் தலைகீழ் 3/2 ஆகும். 5 போன்ற ஒரு முழு எண்ணின் தலைகீழ் 1/5 ஆகும் (ஏனெனில் 5 ஐ 5/1 ஆக எழுதலாம்).

சூத்திரம்: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) x (d/c) = (a x d)/(b x c)

உதாரணம்: 1/2 ÷ 1/4 = 1/2 x 4/1 = (1 x 4)/(2 x 1) = 4/2 = 2 (சுருக்கப்பட்டது)

பின்னங்களையும் முழு எண்களையும் வகுத்தல்:

பெருக்கலைப் போலவே, முழு எண்ணை 1 பகுதியாகக் கொண்ட ஒரு பின்னமாக கருதி பின்னர் தலைகீழாக மாற்றவும்.

உதாரணம்: 1/3 ÷ 2 = 1/3 ÷ 2/1 = 1/3 x 1/2 = (1 x 1)/(3 x 2) = 1/6

கலப்பு எண்களை வகுத்தல்:

வகுப்பதற்கு முன் கலப்பு எண்களை முறைமையில்லா பின்னங்களாக மாற்றவும்.

உதாரணம்: 2 1/2 ÷ 1 1/4

1. முறைமையில்லா பின்னங்களாக மாற்றவும்:
   • 2 1/2 = 5/2
   • 1 1/4 = 5/4
2. முறைமையில்லா பின்னங்களை வகுக்கவும்: 5/2 ÷ 5/4 = 5/2 x 4/5 = (5 x 4)/(2 x 5) = 20/10 = 2 (சுருக்கப்பட்டது)

பின்னக் கணக்கீடுகளின் நிஜ உலக பயன்பாடுகள்

பின்னங்கள் பல்வேறு நிஜ உலக காட்சிகளில் விரிவாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

• சமையல்: சமையல் குறிப்புகளில் பெரும்பாலும் பொருட்களின் அளவைக் குறிப்பிட பின்னங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன (எ.கா., 1/2 கப் மாவு, 1/4 தேக்கரண்டி உப்பு).
• கட்டுமானம்: கட்டிடக் கலைஞர்கள் மற்றும் கட்டுபவர்கள் நீளம், பரப்பளவு மற்றும் கொள்ளளவு ஆகியவற்றை அளவிட பின்னங்களைப் பயன்படுத்துகின்றனர் (எ.கா., 3/8 இன்ச் தடிமன் கொண்ட ஒட்டு பலகை, 2 1/2 மீட்டர் நீளம்).
• நிதி: வட்டி விகிதங்கள் மற்றும் பங்கு விலைகள் பெரும்பாலும் பின்னங்களாக வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன (எ.கா., 1/4% வட்டி விகிதம், 50 1/2 டாலர்களில் ஒரு பங்கு வர்த்தகம்). சர்வதேச வர்த்தகம் மற்றும் பயணத்தில் முக்கியமான நாணய மாற்று விகிதங்களில் பெரும்பாலும் பின்னங்கள் அடங்கும்.
• நேரம்: ஒரு மணிநேரத்தின் பின்னங்களை (எ.கா., கால் மணி நேரம், அரை மணி நேரம்) தினமும் பயன்படுத்துகிறோம். சர்வதேச அழைப்புகளைத் திட்டமிட GMT/UTC ஐப் பொறுத்து ஒரு நாளின் பின்னங்களைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தக்கூடிய நேர மண்டல வேறுபாடுகளைப் புரிந்துகொள்ள வேண்டும்.
• ஷாப்பிங்: தள்ளுபடிகள் பெரும்பாலும் பின்னங்களாகவோ அல்லது சதவீதங்களாகவோ வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன, அவை அடிப்படையில் பின்னங்களாகும் (எ.கா., 25% தள்ளுபடி என்பது 1/4 தள்ளுபடிக்கு சமம்).
• வரைபடங்கள் மற்றும் அளவுகள்: வரைபடங்கள் தூரங்களைக் குறிக்க விகிதங்களாகவோ அல்லது பின்னங்களாகவோ வெளிப்படுத்தப்படும் அளவைப் பயன்படுத்துகின்றன. உதாரணமாக, 1:100,000 என்ற வரைபட அளவின் பொருள் வரைபடத்தில் 1 செமீ என்பது உண்மையில் 100,000 செமீ (அல்லது 1 கிமீ) ஆகும்.

உதாரணம்: நீங்கள் ஒரு கேக் தயாரிக்கிறீர்கள், மேலும் சமையல் குறிப்பில் 2 1/4 கப் மாவு தேவைப்படுகிறது. நீங்கள் கேக்கை பாதியாக மட்டுமே தயாரிக்க விரும்புகிறீர்கள். உங்களுக்கு எவ்வளவு மாவு தேவை?

1. மாவின் அளவை 2 ஆல் வகுக்கவும்: 2 1/4 ÷ 2
2. முறைமையில்லா பின்னமாக மாற்றவும்: 2 1/4 = 9/4
3. வகுக்கவும்: 9/4 ÷ 2/1 = 9/4 x 1/2 = 9/8
4. மீண்டும் ஒரு கலப்பு எண்ணாக மாற்றவும்: 9/8 = 1 1/8

எனவே, உங்களுக்கு 1 1/8 கப் மாவு தேவை.

பின்னக் கணக்கீடுகளைக் கற்றுக்கொள்வதற்கான உதவிக்குறிப்புகள் மற்றும் தந்திரங்கள்

• தொடர்ந்து பயிற்சி செய்யுங்கள்: நீங்கள் எவ்வளவு அதிகமாகப் பயிற்சி செய்கிறீர்களோ, அவ்வளவு வசதியாக பின்னக் கணக்கீடுகளைச் செய்வீர்கள்.
• பின்னங்களைச் சுருக்குங்கள்: எப்போதும் உங்கள் பதில்களை மிகக் குறைந்த சொற்களாகச் சுருக்குங்கள். இதன் பொருள் தொகுதி மற்றும் பகுதியை அவற்றின் மிகப்பெரிய பொதுவான காரணியால் (GCF) வகுப்பது ஆகும்.
• பின்னங்களை உருவகப்படுத்துங்கள்: வரைபடங்களை வரைவது அல்லது கையாளுதல்களைப் பயன்படுத்துவது பின்னங்களை உருவகப்படுத்தவும் கருத்துகளைப் புரிந்து கொள்ளவும் உதவும்.
• ஆன்லைன் ஆதாரங்களைப் பயன்படுத்தவும்: ஆன்லைனில் பல ஆதாரங்கள் உள்ளன, அதாவது பயிற்சி, கால்குலேட்டர்கள் மற்றும் பயிற்சி சிக்கல்கள்.
• சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும்: சிக்கலான சிக்கல்களை சிறிய, நிர்வகிக்கக்கூடிய படிகளாக உடைக்கவும்.
• உங்கள் வேலையைச் சரிபார்க்கவும்: எப்போதும் உங்கள் வேலையைச் சரிபார்த்து துல்லியத்தை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்.
• "ஏன்" என்பதைப் புரிந்துகொள்ளுங்கள்: விதிகளை வெறுமனே மனப்பாடம் செய்ய வேண்டாம்; அவர்களுக்குப் பின்னால் உள்ள காரணத்தைப் புரிந்துகொள்ளுங்கள். இது கருத்துகளை நினைவில் வைத்துக் கொள்ளவும் பயன்படுத்தவும் எளிதாக்கும்.
• மதிப்பீடு: ஒரு கணக்கீட்டைச் செய்வதற்கு முன், பதிலை மதிப்பிடுங்கள். உங்கள் இறுதி பதில் நியாயமானதா என்பதை அடையாளம் காண இது உதவும்.

முடிவுரை

பின்னக் கணக்கீடுகளைப் புரிந்துகொள்வது வகுப்பறைக்கு அப்பாற்பட்ட ஒரு முக்கியமான திறமையாகும். அடிப்படை செயல்பாடுகளை - கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் - கற்றுக்கொள்வதன் மூலம், பல்வேறு துறைகளில் உள்ள நிஜ உலக சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு சக்திவாய்ந்த கருவியைத் திறப்பீர்கள். தொடர்ந்து பயிற்சி செய்யவும், பின்னங்களைச் சுருக்கவும், கருத்துகளை உருவகப்படுத்தவும், கிடைக்கும் ஆதாரங்களைப் பயன்படுத்தவும் நினைவில் கொள்ளுங்கள். அர்ப்பணிப்பு மற்றும் விடாமுயற்சியுடன், நீங்கள் பின்னங்களின் உலகை நம்பிக்கையுடன் வென்று அவற்றை உங்கள் அன்றாட வாழ்வில் திறம்பட பயன்படுத்த முடியும்.

இந்த விரிவான வழிகாட்டி பின்னக் கணக்கீடுகளின் அத்தியாவசிய அம்சங்களை உள்ளடக்கியது, தெளிவான விளக்கங்கள், நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பயனுள்ள உதவிக்குறிப்புகளை வழங்குகிறது. பின்னங்கள் தொடர்பான சவால்களை நம்பிக்கையுடன் எதிர்கொள்ளவும், உங்கள் கணித திறன்களை மேம்படுத்தவும் இந்த ஆதாரம் உங்களுக்கு உதவும் என்று நாங்கள் நம்புகிறோம்.

மேலும் கற்றல்: தனிப்பயனாக்கப்பட்ட ஆதரவுக்காக ஆன்லைன் கணிதப் படிப்புகளை ஆராயுங்கள் அல்லது ஒரு ஆசிரியருடன் கலந்தாலோசிக்கவும். பின்னங்களைப் பற்றிய உங்கள் புரிதலை வலுப்படுத்த பல வலைத்தளங்கள் மற்றும் மொபைல் பயன்பாடுகள் ஊடாடும் பயிற்சிகள் மற்றும் வினாடி வினாக்களை வழங்குகின்றன. உங்கள் கணித பயணத்திற்கு வாழ்த்துக்கள்!